线性代数 考前速记

秩相关

$$ \[\begin{gather} R(AB) \leq min\{R(A), R(B)\} \\ \\ R(A + B) \leq R(A)+R(B) \\ \\ R(A,B) \leq R(A) + R(B) \\ \\ R(A)+R(B)\leq n (AB=O)\\ \\ R(A^*)= \left\{ \begin{array}{l} n, && {R(A) = n} \\ 1, && {R(A) = n - 1} & \\ 0, && {R(A) < n - 1} & \\ \end{array} \right. \\ \\ R(A^TA) = R(AA^T) = R(A) \end{gather}\] $$

合同/相似/等价 关系(实对称矩阵下)

关系图

\[ \begin{gather} \{相似矩阵\}\subset \{等价矩阵\} \\ \{合同矩阵\}\subset \{等价矩阵\} \\ \{合同矩阵\}\cap \{相似矩阵\} \not= \emptyset \end{gather} \]

等价矩阵

1. 秩相等

合同矩阵

1. 等价矩阵的性质
2. 一定对称
3. 正负惯性系数（即正负定）相等
4. 特征值不一定相等

相似矩阵

1. 合同矩阵的性质（部分）
2. 不一定对称（例外）
3. 特征值相等

其它方面

在正交阵情况下，相似矩阵一定合同，合同矩阵一定正交。